Antecedentes
En los últimos años, el
interés de modelar fenómenos físicos y químicos encontrados en yacimientos y pozos
petroleros como el desplazamiento de fluidos en medios porosos y el flujo multifásico
en tuberías ha aumentado rápidamente.
El surgimiento de complejos
procedimientos para mantener la energía de los campos petroleros y mejorar las técnicas
de extracción de hidrocarburos ha enfatizado la necesidad de herramientas matemáticas
sofisticadas, capaces de enfrentar estos problemas (Ewing,1983).
Los avances y
disponibilidad de las computadoras han ocasionado un aumento en el uso y
desarrollo de los métodos numéricos, los cuales son herramientas muy poderosas
para la solución de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones
grandes, manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en
la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica
(Chapra y Canale, 2011).
Bases teóricas
En la industria
petrolera es común el uso de software especializados para modelar distintos fenómenos.
Los principios matemáticos requeridos de los simulados numéricos de yacimientos
incluyen calculo diferencial, ecuaciones diferenciales, análisis numérico,
calculo en diferencias finitas y algebra lineal.
El calculo diferencial,
que data de los tiempos de Newton y Leibnitz, relaciona la derivada (o pendiente
de la tangente) de una función continua y la función en estudio. Esta rama de
las matemáticas tiene importantes aplicaciones en diversos campos como la ingeniería,
ciencias físicas, biología, economía y matemáticas aplicadas.
Las ecuaciones diferenciales
implican funciones conocidas y desconocidas. Tienen aplicaciones en muchas de
las mismas áreas de cálculo diferencial. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
usadas en ingeniería petrolera son la ecuación de flujo de tubería (ecuación de
Euler), los métodos de Muskat para yacimientos con gas en solución, la ecuación
de pruebas de presión de pozos (ecuación de difusividad) y la ecuación
utilizada en la simulación de yacimientos.
El análisis o métodos numéricos
proveen las técnicas computacionales (algoritmos) para aproximar soluciones a
problemas matemáticos exactos. Las técnicas de métodos numéricos son usadas
para tratar problemas matemáticos complejos en computadores digitales y obtener
soluciones aproximadas que se otras forma no serían posibles resolver. Una de
las ramas del análisis numérico, el calculo en diferencias finitas, es usado la
aproximar funciones y sus derivadas en una serie de puntos discretos. Tales
puntos pueden ser medidos en experimentos de laboratorio o con observaciones de
campo, o pueden ser generados con la solución numérica de ecuaciones diferenciales.
El calculo de diferencias finitas es relacionado con el calculo diferencial a través
de la expansión de la serie de Taylor (Ertekin et. al.,2001).
El algebra lineal
trata con la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Una fuente de
problemas de ecuaciones lineales en la ingeniería de yacimiento es la
aproximación de ecuaciones diferenciales continuas por ecuaciones en diferencias
finitas.
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